СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Напишем

СЛУЖБА ПОДДЕРЖКИ

8 (800) 777-46-70

Звонок бесплатный по РФ

Определение

Диагональным называют двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой линией, являющейся их общей границей.

Чтобы находить угол между пересекающимися плоскостями, необходимо понимать основные значения специальных терминов и понятий, которые используются в теме плоскостей и прямых.

Сначала дадим определение того, что называется углом между пересекающимися плоскостями. Если в пространстве две плоскости пересекаются, то между ними образуется угол.

Угол между пересекающейся прямой и плоскостью

Если в пространстве имеются пересекающиеся плоскости Y1 и Y2, то точку пересечения обозначим буквой С. Для построения некой плоскости Х, необходимо рассмотреть заданные пересекающиеся плоскости подробнее.

Новая плоскость Х будет образована вследствие пересечения плоскостей Y1 и Y2. Примем обозначение для прямой, которая будет пересекать Y1 и Х, как прямая а. А другую прямую, которая пересечет Y2 и Х, обозначим как b.

Получаем две пересекающиеся прямые, а и b, которые дадут нам точку M.

Понять, что называется углом между двумя пересекающимися плоскостями, поможет рисунок.


угол между двумя пересекающимися плоскостями
Место расположения точки М не может повлиять на величину угла между a и b, но если М находится на прямой С, то она проходит через плоскость Х.

Для более ясного представления того, что означает угол между двумя пересекающимися плоскостями, нужно:

  1. Построить перпендикулярную прямую к прямой С, а также лежащую на плоскости Х1.
  2. При пересечении плоскости Y1 с Y2 и прямой Х1 получаем прямые а1 и b.
  3. Если при Х и Х1, прямые, а и b перпендикулярны к прямой С, то прямые а1 и b1 также будут перпендикулярны прямой С.
  4. Построение прямых a и а1, лежащих на плоскости Y1, будет считаться параллельным.
  5. Прямые b и b1 принадлежат плоскости Y2, имеющей перпендикуляр, то они параллельны.

Как найти угол между двумя пересекающимися плоскостями

Чтобы найти значение, чему равен угол между пересекающимися плоскостями, необходимо сделать дополнительные построения:

  • Перенести параллельно плоскость Х1 на плоскость Х.
  • Получить совпадающие прямые a и а1, b и b1.

Дадим определение угла между двумя плоскостями.

Угол между прямыми a1 и b1 будет равен углу между пересекающимися прямыми a и b.
Это определение хорошо видно на рисунке.
Нахождение угла между двумя плоскостями 1
Доказательство:

  • Если между прямыми a и b, которые пересекаются, имеем угол между пересекающейся прямой и плоскости, то он не будет зависеть от точки пересечение М.
  • Данные прямые принадлежат плоскостям Y1 и Y1, поэтому готовый угол и является углом между пересекающимися плоскостями.

Итак, между двумя плоскостями, которые пересекаются между собой и имеют принадлежащие им прямые линии, в точке третьей плоскости пересечения Х образуется угол, перпендикулярный прямой С.
Чтобы понять это определение, обратимся к рисунку.

Нахождение угла между двумя плоскостями 2

Данное понятие можно сформулировать иначе:

  • При пересечении Y1 и Y2 получаем прямую с точкой М.
  • Проводим прямые a и b в данных плоскостях, которые будут перпендикулярны прямой c.
  • Полученный между двумя прямыми угол будет называться углом между плоскостями.

Этот метод применяют и для построения заданного угла между двумя плоскостями.

Для этого нужно знать следующие правила:

  • Угол между плоскостями всегда меньше 900 С.
  • Плоскости являются перпендикулярными только в том случае, если угол между ними прямой.
  • Между двумя параллельными плоскостями угол равен 0 градусов С.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Методы вычисления угла между плоскостями

Существует несколько методов, позволяющих вычислить угол с максимальной точностью.

Вычислить угол можно несколькими способами:

  • используя признаки равенства;
  • с помощью треугольников;
  • применяя синусы и косинусы;
  • используя систему координат.

Необходимо понимать, как найти угол между пересекающимися плоскостями, применяя различные методы. Тогда решение любой задачи покажется легким для выполнения.

Примеры

Дан один параллелепипед \[A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\].
Сторона \[A D=3, A B=2, A A_{1}=7\].
Точка E делит сторону \[АА_{1}\] в пропорции 4 : 3.
Задание: необходимо найти угол между плоскостями АВС и \[ВED_{1}\].
Решение:
Сначала сделаем чертеж исходного задания.

Нахождение угла между плоскостями 3
Теперь необходимо обозначить прямую линию пересечения двух плоскостей АВС и \[ВED_{1}\].
Точка B будет общей, далее необходимо найти еще одну точку пересечения.
Поскольку прямые DA и \[D_{1}E\] располагаются в плоскости \[ADD_{1}\] и не могут быть параллельны, значит они пересекаются.
Если прямая DA расположена в плоскости АВС, а \[D_{1}E\] в BED1, то прямые DA и D1E однозначно пересекаются в общей точке, которая лежит на обеих плоскостях. Обозначим эту точку буквой F.
На рисунке хорошо видно, что прямая BF является общей для двух исходных плоскостей.
Нахождение угла между плоскостями 4
Теперь постараемся найти угол между этими плоскостями:

  1. Построим прямые в обеих плоскостях, проходящие через общую точку, лежащую на прямой BF и
    перпендикулярные ей.
  2. Получился угол между плоскостями.
  3. Точка А, лежащая на плоскости АВС, является проекцией точки Е.
  4. Проводим перпендикулярную прямую к BF в точке М.
  5. Теперь хорошо видно, что ЕМ является проекцией на плоскость АВС в АМ.
  6. Применяем теорему о перпендикулярах AM ⊥ BF.

Нахождение угла между плоскостями 5
Искомым является ∠AME, который образован пересечением плоскостей АВС и \[ВED_{1}\]. Из полученного треугольника АЕМ находим тангенс, синус или косинус. Теперь, если известны стороны треугольника, можно вычислить угол между двумя пересекающимися плоскостями.
Для этого выполняем несколько дополнительных действий:
В условии задачи сказано, что АА1 разделена точкой Е в пропорции 4 : 3. Это значит, что прямая имеет 7 частей, а отрезок АЕ равен 4 частям.

Чтобы определить АМ, нужно рассмотреть треугольник АВF, где угол A прямой, а АМ является его высотой.

Если АВ = 2, то длину AF можно вычислить по принципу подобия треугольников DD1F и AEF:

\[\frac{A E}{D D 1}=\frac{A F}{D F} \Leftrightarrow \frac{A E}{D D 1}=\frac{A F}{D A+A F} \Rightarrow
\frac{4}{7}=\frac{A F}{3+A F} \Leftrightarrow A F=4\]
С помощью теоремы Пифагора находим длину BF в треугольнике ABF:
\[\mathrm{BF}=\sqrt{(}\left(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AF}^{2}\right)=\sqrt{\left(2^{2}+4^{2}\right)}=2
\sqrt{5}\]
Находим длину отрезка АМ через площадь треугольника ABF:
S треугольника \[\mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AF}\] или S треугольника
\[\mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{BF} \cdot AM\]. Тогда \[\mathrm{AM}=\frac{A B \cdot A F}{B
F}=\frac{2 \cdot 4}{2 \sqrt{5}}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}\].
Находим тангенс угла в треугольнике АЕМ:
\[\operatorname{tg} \angle \mathrm{AME}=\frac{A E}{A M}=\frac{4}{4 \sqrt{5}}: 5=\sqrt{5}\]
В итоге угол между пересекающимися плоскостями arc равен arctg√5. Или \[\operatorname{arctg} \sqrt{5}=\arcsin
\frac{\sqrt{30}}{6}=\arccos \frac{\sqrt{6}}{6}\].
Ответ: \[\operatorname{arctg} \sqrt{5}=\arccos \frac{\sqrt{6}}{6}\].



B единичном кубе \[A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\] найдите угол между плоскостями \[\left(A D_{1}
E\right)\] и \[\left(D_{1} F C\right)\], где точки E и F — середины ребер \[A_{1} B_{1}\] и \[B_{1} C_{1}\] соответственно.
Нахождение угла между плоскостями 6
Решение:
Введем прямоугольную систему координат и определим координаты точек:\[A(1 ; 0 ; 0), C(0 ;
1 ; 0), D_{1}(1 ; 1 ; 1), E\left(\frac{1}{2} ; 0 ; 1\right), F\left(0 ; \frac{1}{2} ; 1\right)\]
Составим уравнение плоскости \[\left(A D_{1} E\right)\]:
\[2 x-y+z-2=0\\\overrightarrow{n_{1}}\{2 ;-1 ;
1\}\] — нормальный вектор плоскости \[(AD_{1} E)\].
Составим уравнение плоскости \[\left(D_{1} F C\right)\]:
\[x-2 y-z+2=0\\\overrightarrow{n_{2}}\{1 ;-2
;-1\}\] — нормальный вектор плоскости \[(D_{1}FC)\].



Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра,
равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды.
Нахождение угла между плоскостями 7
Решение: \[R O=\frac{1}{3}; C R=\frac{\sqrt{3}}{6}; E O=\frac{1}{2}\]
SO найдем из \[\triangle O S B\]:
\[\begin{aligned}&S B=2, \quad B O=\frac{\sqrt{3}}{3} \\&S O=\sqrt{S B^{2}-O B^{2}} \\&S
O=\sqrt{4-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \\&S\left(\frac{\sqrt{3}}{6} ; \frac{1}{2} ;
\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}\right)\end{aligned}\]

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Начни писать статьи на заказ!

Хочу заработать