Основное определение: «Угол, возникающий между перпендикулярными отрезками, опущенными в пределах этих плоскостей к линии пересечения и является углом между плоскостями».

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно опустить из любых двух ее точек перпендикуляры на плоскость (спроектировать эти точки), после чего провести через них прямую – это и будет проекция.

Проекция прямой на плоскости 1

Виды углов между плоскостью

Плоскость и прямая имеют одну точку пересечения (общую).

В данном примере угол между прямой и плоскостью нам не известен. Прямая также может проходить через плоскость перпендикулярно (90 градусов)

Пересечение прямой на плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, а также всем остальным прямым, расположенным на данной плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости

Точка перпендикулярного пересечения прямой М1 и плоскости γ под является одновременно и проекцией точки М, при условии, что она не принадлежит плоскости γ.

Проекция точки на плоскости

Проекция прямой на плоскость обозначает множество проекция данной прямой на плоскость.

Проекция прямой на плоскости

Это означает, что прямая, перпендикулярная к плоскости имеет с ней общую точку пересечения, из чего следует то, что a – принадлежит плоскости и проходящей через точку пересечения прямой плоскости.

Углом между прямой и плоскостью является угол между данной прямой и ее проекцией на заданную плоскость.

Прямая необязательно перпендикулярна плоскости. Из этого обозначения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда является острым (90>x).

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью всегда равен 90 градусам, в то время как угол между параллельно расположенными прямыми определять не требуется. В некоторых заданиях, его значение просто приравнивается нулю, это указывают внутри задания.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Как найти угол между прямой и плоскостью

Способов решения задач на нахождения угла между плоскостью и заданной прямой, бесчисленное множество. Путь, которым необходимо решить задачу, выбирается исходя из указанных в условиях задачи данных. Зачастую, рельсами решения задач такого типа являются тангенсы, косинусы, синусы углов, а также признаки подобия/равенства фигур. Далее будет рассмотрен метод решения с применением сетки координат.

Геометрический метод. При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (φ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Решение задачи геометрическим методом. Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания O, то OE – это проекция SE, а точка M проецируется в точку K – середину отрезка OE.

И теперь FK – это проекция FM, а искомый угол между прямой FM и плоскостью основания – это ∠MFK.

Треугольник 1

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то a, тогда боковые рёбра – 3a. Заметь, что ΔMFK – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол.

Алгебраический метод. При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

\[ \sin \varphi=\left|\frac{A\left(x_{2}-x_{1}\right)+B\left(y_{2}-y_{1}\right)+C\left(z_{2}-z_{1}\right)}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}}\right| \]

Здесь \[\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\] — координаты двух точек на прямой, A, B, C- координаты в уравнении плоскости: \[ A x+B y+C z+D=0 \].

Прямая на плоскости 2

В 3D используется система координат, состоящая из трех направлений – Охуz.
В ней задается прямая, которая пересекается с заданной плоскостью в точке М. В данном примере требуется найти угол а, который находится между прямой и плоскостью.

Для нахождения угла а, возьмем уравнение прямой и вектор прямой пространства, а плоскости соответствует равенство плоскости и вектор плоскости. Из этого следует: → a = ( a x , a y , a z ).

\[\vec{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right)\] —  есть направляющий вектор данной прямой, в то время как → n ( n x , n y , n z ) является нормальным вектором для заданной плоскости. \[\vec{n}\left(n_{x}, n_{y}, n_{z}\right)\].

При помощи уравнения, в случае если в задании уже есть координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости можно найти векторы а и n.

Имеющуюся у нас формулу моно преобразовать, что позволит получить требуемый угол, применяя координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора.

Всего есть 4 возможных варианта расположения векторов а и n относительно данных прямых и плоскости. На рисунке ниже даны все 4 разновидности их расположения.

Прямые на плоскости

Угол между указанными векторами обозначается как ( ˆ→ a , → n ) \[\vec{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right)\], являясь острым. Необходимый нам угол а дополняется. Теперь мы имеем выражение \[(\overbrace{{\vec{a}}, \vec{n}})=90^{\circ}-\alpha\].

Если по условию задачи \[(\overbrace{\vec{a}, \vec{n}})>90^{\circ}\] ( ˆ → a , → n ) > 90 °,то получается выражение ( ˆ → a , → n ) = 90 ° + α.

\[( \overbrace{{\vec{a}}, \vec{n}})=90^{\circ}+\alpha\]

Также необходимо добавить. Что косинусы равных углов равны. Исходя из этого можно составить равенства:

\[ \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}})=\cos \left(90^{\circ}-\alpha\right),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})<90^{\circ} \]
\[ \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}})=\cos \left(90^{\circ}+\alpha\right),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})>90^{\circ} \]

При помощи формулы приведения можно упростить выражение. Получится:

\[ \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}})=\sin \alpha,(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})<90^{\circ} \]
\[ \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}})=-\sin \alpha,(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})>90^{\circ} \]

После некоторых преобразований вырисовывается система:

\[ \sin \alpha=\cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}}),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})<90^{\circ} \]
\[ \sin \alpha=-\cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}}),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})>90^{\circ} \]
\[ \sin \alpha=\cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}}),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})>0 \]
\[ \sin \alpha=-\cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}}),(\widehat{\vec{a}, \vec{n}})<0 \]
\[ \Leftrightarrow \sin \alpha= \cos (\widehat{\vec{a}, \vec{n}}) \]

Подведем итог: синус угла между плоскостью и прямой равняется модулю косинуса угла, расположенного между вектором прямой и нормальным вектором заданной плоскости.

Угол образованный двумя векторами имеет значение скалярного произведения векторов и этих длин. При помощи формулы, приведенной ниже, можно вычислить синус угла, полученного пересечением плоскости и прямой.

\[ \sin \alpha=\operatorname{cos}(\widehat{\vec{a}, \vec{n}}) \mid=\frac{(\widehat{\vec{a}, \vec{n}}) \mid}{ \vec{a}|\cdot \vec{n}|}=\frac{a_{x} \cdot n_{x}+a_{y} \cdot n_{y}+a_{z} \cdot n_{z} \mid}{\sqrt{a_{z}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}} \]

Все это можно привести к следующему виду:

\[ \alpha=\arcsin \frac{(\widehat{\vec{a}, \vec{n}}) \mid}{\vec{a}|\cdot \vec{n}|}=\arcsin \frac{ a_{x} \cdot n_{x}+a_{y} \cdot n_{y}+a_{z} \cdot n_{z} \mid}{\sqrt{a_{z}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{n_{z}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}} \]

Применив основное тригонометрическое свойство, возможно вычислить косинус, но только при условии. Что синус уже известен/дан в условии задания. Как было сказано выше, угол, образованный пересечением прямой и плоскости, является острым. Это означает, что значение этого угла всегда положительно. Его можно найти формулой \[\alpha=\sqrt{1-\sin \alpha}\].

Для более хорошего понимания материала, рассмотрим несколько примеров и попробуем их решить.

Пример 1:

Ha векторах \[\overrightarrow{A B}=(1,0,2), \quad \overrightarrow{A C}=(-1,3,0), \overrightarrow{A D}=(4,1,1)\] построена пирамида.

Найдите угол между прямой AD и плоскостью ABC .

Решение:

Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью по полученной формуле, нам нужно знать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. Направляющим вектором прямой AD является вектор \[\overrightarrow{A D}=(4,1,1)\].

Нормальный вектор \[ \vec{n}\] плоскости ABC перпендикулярен и вектору \[\overrightarrow{A B}\] и вектору \[\overrightarrow{A C}\] , то есть, в качестве нормального вектора плоскости ABC можно взять векторное произведение векторов \[\overrightarrow{A B}\] и \[ \overrightarrow{A C}\]:

\[ \vec{n}=[\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}]=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \end{array}\right|=-6 \cdot \vec{i}-2 \cdot \vec{j}+3 \cdot \vec{k} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{n}=(-6,-2,3) \]

Осталось подставить координаты векторов в формулу и вычислить требуемый угол между прямой и плоскостью:

\[ \alpha=\arcsin \frac{\mid (\overrightarrow{A D}, \vec{n}) \mid}{|\overrightarrow{A D}| \cdot|\vec{n}|}=\arcsin \frac{|4 \cdot(-6)+1 \cdot(-2)+1 \cdot 3|}{\sqrt{4^{2}+1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{(-6)^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=\arcsin \frac{23}{21 \sqrt{2}} \]

Ответ: \[\arcsin \frac{23}{21 \sqrt{2}}\]


Пример 2. Найти угол между прямой и плоскостью x-2 y+3 z+4=0.

Решение.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой \[\bar{s}={2 ; 6 ;-3}\].

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости \[\bar{q}={1 ;-2 ; 3}\].

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью:

\[ \sin \varphi=\frac{|2 \cdot 1+6 \cdot(-2)+(-3) \cdot 3|}{\sqrt{2^{2}+6^{2}+(-3)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=\frac{|2-12-9|}{\sqrt{4+36+9} \cdot \sqrt{1+4+9}}=\frac{|-19|}{\sqrt{49} \cdot \sqrt{14}}=\frac{19}{7 \sqrt{14}} \]

Ответ: \[\sin \varphi=\frac{19}{7 \sqrt{14}} \].

Дополнительные теоремы

  • Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
  • Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
  • Если прямая параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью М считается равным нулю. Если прямая перпендикулярна прямой, т.е. равен 90 градусам.
  • Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью можно сначала вычислив косинус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости.
  • Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L s = {l; m; n} и уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то угол между этой прямой и плоскостью можно найти, используя следующую формулу:
\[ \sin \varphi=\frac{|A \cdot 1+B \cdot m+C \cdot n|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+m^{2}+n^{2}}} \]