В данном материале рассмотрим, что такое уравнение прямой. Проанализируем каждый вид данного уравнения. Изучим основные формулы и графики. Применим весь рассмотренный материал на практике, в виде решения задач и уравнений.

Данное уравнение — характеризуется, как уравнение двух переменных значений.

Значения в математики, чаще всего обозначают буквами x и y. Это самое распространенное обозначение, однако можно встретить и другие буквенные обозначения. Например: z, n и другие значения.

Определение прямой линии- фигура, состоящая из множества простых точек. Каждая точка, имеет собственные, определенные координаты, относительно осей абсцисс и ординат.

Уравнение прямой на плоскости — уравнение, характеризующее взаимосвязь координатных значений точек на прямой.

Для решения уравнений необходимо помнить ряд важным математических функций, правил, значений.

Все их мы будем рассматривать подробно в каждом разделе на примерах решения.

Общее уравнение прямой линии системы координат

Рассмотрим соответствующую теорему, которая отражает уравнение прямой на плоскости в системе координат Oxy.

Подробно исследуем следующее уравнение: ax+by+c=0.

Значения х и y, являются переменными данными со значениями.

a и b — действительные простые числа. Обязательное условие, которых неравенство нулю.

Следовательно, прямая линия задается вышеупомянутым уравнением данного вида: ax+by+c=0.

Рассмотрим на примере изученную теорему:

Уравнение прямой на плоскости 1

На данном рисунке, мы рассмотрим красную линию и запишем уравнение для нее.

2x+3y-2=0.

Координаты на данной прямой удовлетворяют составленному уравнению.

Уравнение может быть также полным и неполным. Рассмотрим случаи:

  • Полное уравнение.

Все действительные числа, имеют любое значение, но не равные нулю. Поэтому такое определение относится к данному типу уравнений.

  • Неполное уравнение.

Все числа в уравнении имеют любое значение. Характерно, также значения отрицательных знаков.  

Уравнение прямой в отрезках прямой

Для отрезков уравнение будет иметь следующей вид:

\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\]

Данные в знаменателе, являются действительными значениями, не равными нулевому значению. Величины действительных данных равняются отрезку. Он отсоединяется линией на оси координат. Протяженность начинает свой отсчет от начала координатной прямой.

Пример:

Нужно начертить прямую линию, которая задается формулой.

\[\frac{x}{3}+\frac{y}{-\frac{5}{2}}=1\]

Обозначим на графике две точки  ( 3 ;  0 ) ,   (0; \[-\frac{5}{2}\]).  Далее необходимо их соединить между собой.

Уравнение прямой на плоскости 2

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Записываем уравнение вида: \[\mathrm{y}=\mathrm{k} \cdot x+b\];

x — значение, которое принимается, как переменное;

к — простое действительное число, является показателем углового коэффициента;

b — действительное число.

Угол наклона на плоскости в системе координат — угол, который берет свой отсчет значений от направления с положительным знаком до прямой, которая направлена против хода часовой стрелки.

Угол наклона на плоскости

Угол будут считать нулевым, если прямая линии, имеют параллельное расположение относительно оси абсцисс либо совпадает с ней по расположению. Угол принимает значения, согласно интервалу (0, \[\pi\]).

Формула

\[\text { Формула обозначения коэффициента: } k=\operatorname{tg} \alpha .\]

Угловой коэффициент — значение тангенса угла наклона этой же прямой линии.

В случае, когда прямая линия параллельная другой оси, ординат, то принято считать, что угловой коэффициент не определяется. И соответствует интервалу бесконечности.

График функции будет возрастать, если значение коэффициента имеет положительное значение. Следовательно, убывание будет наблюдаться в противоположном значение, а именно с отрицательным значением.

На графиках показаны значения угловых коэффициентов и угол наклона. Когда есть разное расположение относительно осей.

Значения угловых коэффициентов и угол наклона

На примерах рассмотрим нахождение углового коэффициента. Для этого из прошлых тем, вспомним определение тангенса и его вычисление.

Пример №1:

Угол наклона прямой равен 120 градусов, относительно оси ох.

Нам нужно определить угловой коэффициент.

Применим известные нам формулы и подставим данные.

\[\alpha=120^{\circ}, \mathrm{k}=\operatorname{tg} \alpha=120=-\sqrt{3}\]

Следовательно правильный ответ задачи будет равняться \[k=-\sqrt{3}\]

Пример №2:

В этом примере нам уже известно значение углового коэффициента.

Нужно определить угол наклона, относительно прямой.  Для этого, нужно обязательно учитывать знак известного коэффициента. Если к>0, следует что угол будет острый и определяться как \[\alpha=\operatorname{arctg} k\].

Когда к<0, то угол будет характеризоваться как тупой. его значение определяется функцией: \[\alpha=\pi-\operatorname{arctg}|k|\].

Например, угловое значение равно 3.

Значение коэффициента является положительным, значит угол будет острый. Вычисляться он будет по формуле: \[\alpha=\operatorname{arctg} k=3\]

Ответ задачи: \[\operatorname{arctg}=3\].

Пример №3:

Значение углового коэффициента имеет отрицательное число в виде дроби.  И равняется следующему значению: \[-\frac{1}{\sqrt{3}}\]

Для определения угла наклона, выполнить следующие действия: обозначим все значения. Угол наклона относительно оси имеет положительное значение. Следовательно формула для решения запишется следующим образом: \[\mathrm{k}=-\frac{1}{\sqrt{3}}<0 \Rightarrow \alpha=\pi-\operatorname{arctg}|k|\].

Подставим данные, которые заданы в условии задания:

\[\alpha=\pi-\operatorname{arctg}\left|-\frac{1}{\sqrt{3}}\right|=\pi-\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6} \Rightarrow\]ответ будет \[\frac{5 \pi}{6}\].

Пример №4:

Необходимо определить, относятся ли точки координат к прямой. Они равны: \[m_{1}(3 ; 0) \text { и } m_{2}(2 ;-2)\]. Уравнение прямой задано следующее: \[y=\frac{1}{3} x-1\].

Известные нам значения точек подставляем, в заданное уравнение прямой.

И получаем следующий вид формулы: \[0=\frac{1}{3} \cdot 3-1 \Leftrightarrow 0=0\]. Так после вычисления, мы получаем равенство, которое считается верным. Можно утверждать, что точка принадлежит прямой.

Далее подставляем значения второй точки в уравнение.

\[-2=\frac{1}{3} \cdot 2-1 \Leftrightarrow-2=-\frac{1}{3}\] следовательно точка \[m_{2}\] не относится к прямой и не лежит на ней.

Вывод решения: только первая точка относится к прямой и лежит на ней, а вторая равная (2;-2) — нет.

Пример №5:

Нужно найти уравнение прямой, которая проходит через значение точки \[m_{1}(4 ; 1)\]. Значение углового коэффициента — (-2).

Запишем условие : \[x_{1}=4, y_{1}=-1, k=-2\]

Следовательно необходимое уравнение прямой равно: \[y-y_{1}=k\].

\[\left(x-x_{1}\right) \text { следовательно } y-(-1)=-2 \cdot(x-4) \Leftrightarrow y=-2 x+7\]

Искомое уравнение: \[y=-2 x+7\]

Пример №6:

Составить уравнение прямой, проходящей через значение (-2;4). Угол наклона положительного направления равен \[\frac{3 \pi}{4}\].

Решение необходимо начать с определения коэффициента угла.

\[k=\operatorname{tg} \alpha \frac{3 \pi}{4}=-1\]

Определив угловое значение, можно составить искомое уравнение вида: \[y-y_{1}=k \cdot\left(x-x_{1}\right) \text { из этого следует } y-4=-1 \cdot(x-(-2) \Leftrightarrow y=-x+2\]

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Определение канонического уравнения — это уравнение следующего вида \[\frac{x-x_{1}}{\alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\alpha_{y}}\].

Данное уравнение задает на плоскости в прямоугольной системе прямую линию. Она, в свою очередь проходит через точку \[m_{1}(x ; y)\], которая имеет вектор направления, обозначающийся как \[\underline{\alpha}=\left(\alpha_{x} ; a_{y}\right)\]

Запишем несколько примеров для данного вида уравнения.

\[\frac{x-2}{\sqrt{3}}=\frac{y-3}{1}\]

Приведенное уравнение — это уравнение прямой для канонического вида. Прямая его будет проходить через значения точек \[m_{1}(2 ; 3)\]. Вектор направляющий равен \[\sqrt{3}, 1\].

Уравнение прямой для канонического вида

Важные моменты, которые следует помнить, при решении задач с каноническим уравнением.

Отметим следующие важные факты:

  • если вектор является прямым и прямая линия проходит через точку, то ее уравнение имеет вид : \[\frac{x-x_{1}}{\alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\alpha_{y}}\]
  • когда вектор прямой по направлению, то любой из векторов может быть направляющим вектором прямой. И уравнение записывается следующим образом: \[\frac{x-x_{1}}{\mu \cdot \alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\mu \cdot \alpha_{y}}\]

Пример №1:

Прямая в системе координат проходит через точки (2;-4) и вектор направляющий равен (1;-3). Составьте и напишите каноническое уравнение, применяя известные нам данные.

\[\frac{x-x_{1}}{\alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\alpha_{y}}\]

\[x_{1}=2, y_{1}=2, \alpha_{x}=1, \alpha_{y}=-3\]

Следовательно уравнение записывается следующим образом: \[\frac{x-x_{1}}{\alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\alpha_{y}} \Leftrightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-(-4)}{-3} \Leftrightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y+4}{-3}\]

\[\frac{x-x_{1}}{\alpha_{x}}=\frac{y-y_{1}}{\alpha_{y}} \Leftrightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-(-4)}{-3} \Leftrightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y+4}{-3}\] — окончательное искомое уравнение.

Пример №2:

Составить каноническое уравнение, проходящее через точки \[\sqrt[3]{2} ; \quad-\frac{1}{7}\]

Прямая является параллельной относительно оси координат.  Направляющий вектор принимается \[\underline{j}=(0 ; 1)\]. Учитывая значение точек, через которые проходит прямая, записываем уравнение:

\[\frac{x-\sqrt[3]{2}}{0}=\frac{y-\left(-\frac{1}{7}\right)}{1} \Leftrightarrow \frac{x-\sqrt[3]{2}}{0}=\frac{y+\frac{1}{7}}{1}\]

\[\text { Ответ: } \frac{x-\sqrt[3]{2}}{0}=\frac{y+\frac{1}{7}}{1}\]

Пример №3:

Составим уравнение, руководствуясь графиком, приведенным ниже.

Уравнение прямой на плоскости 3

Из рисунка видно, что прямая проходит через точки со значениями (0;3). Расположена параллельно относительно оси x (ось абсцисс). Координатный вектор \[\underline{i}=(1,0)\] — направляющий вектор, для данной системы.

Собрав все данные, преобразовав их. можно записать уравнение:

\[\frac{x-0}{1}=\frac{y-3}{0} \Leftrightarrow \frac{x}{1}=\frac{y-3}{0}\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Параметрическое уравнение на плоскости и его характеристики

Уравнение такого типа записываются в следующем виде:

\[x=x_{1}+\alpha_{x} \cdot \lambda\]

\[\mathrm{y}=y_{1}+\alpha_{y} \cdot \lambda\]

\[x_{1} y_{1} \alpha_{x} \alpha_{y} \text { — действительные простые значения. }\]

\[\alpha_{x} \alpha_{y} \text{ — значения, которые математически возможны равняться нулю.}\]

\[\lambda \text { — параметр, значение которого может быть различным. }\]

Уравнение параметрического вида предназначено, для установления не очевидного взаимодействия между координатами точек системы. Для определения этого свойства и вводится параметр \[\lambda\].

Пример №1:

Задана система уравнения:

\[\{x=-3-1 / 2 \cdot \lambda\}\]
\[\{y=3 \cdot \lambda\}\]
\[\{z=2 / 3\}\]

Необходимо определить все координаты, каждой направляющей системы.

\[\{x=-3-1 / 2 \cdot \lambda\}\]
\[\{y=3 \cdot \lambda\}\]
\[\{z=2 / 3\} \Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow\{x=-3-1 / 2 \cdot \lambda\}\]
\[\{y=0+3 \cdot \lambda\}\]
\[\{z=2 / 3+0 \cdot \lambda\}\]

Коэффициенты перед значение \[\lambda\] имеют соответствующие значения координат направляющего вектора и равняются: \[\underline{\alpha}=(-1 / 2,3,0)\] — для прямой по заданию.

Соответственно запишем все координаты направляющих векторов:

\[\left(-\frac{1}{2} \cdot \mu, 3 \cdot \mu, 0 \cdot \mu\right)=\left(-\frac{1}{2} \cdot \mu, 3 \cdot \mu, 0 \cdot \mu\right), \mu \in R, \mu \neq 0 \]
\[\left(-\frac{1}{2} \cdot \mu, 3 \cdot \mu, 0 \cdot \mu\right), \mu \in R, \mu \neq 0\]

Пример №2

Составить параметрическое уравнение в пространстве:

\[\underline{\alpha}=\left(2 ;-\frac{1}{\sqrt{3}}, 0\right)-\text { вектор направляющий.}\]

Точки (7, -1, 0) — значения точки на прямой координат.

\[x_{1}=7, y_{1}=-1, z_{1}=0, \alpha_{x}=2, \alpha_{y}=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \alpha_{z}=0\]

Полученные данные подставляем систему уравнения.

\[x=x_{1}+\alpha_{x} \cdot \lambda\]
\[\mathrm{y}=y_{1}+\alpha_{y} \cdot \lambda\]
\[z=z_{1}+\alpha_{z} \cdot \lambda\]
Система уравнений 1

Особые моменты данного типа уравнений:

Имея любое значение \[\lambda\], можно определить три числа (z, y,x).

К примеру точки \[M_{1}\left(x_{1} \text { и так далее }\right) \text { находятсся в параметрах уравнения в системе. }\]

\[\mathrm{x}=\chi_{1}+\alpha_{x} \cdot \lambda\]
\[\mathrm{y}=y_{1}+\alpha_{y} \cdot \lambda\]
\[z=z_{1}+\alpha_{z} \cdot \lambda\]

где значение \[\lambda\]=0.

Пример №3:

Любые значения точек находятся на прямой, для определенной заданной системы координат.

\[M_{1}(4 ; 3 ;-2)\]
\[N_{1}(-2 ; 3 ;-1)\]

Запишем систему параметрических уравнение:

\[x=2+2 \cdot \lambda\]

\[y=3 \cdot \lambda\]

\[z=-1-\lambda\]

Поставляя данные первой точки, получаем уравнения:

Система уравнений 2

Следовательно значение \[\lambda=1 \text {, для } M_{1}(4 ; 3 ;-2)\]. следовательно она находится на прямой координат.

Аналогичные действия проводим для второй координаты точек.

Система уравнений 3

Выполнив вычисления, мы видим, что параметра для \[\lambda\] не существует.

Нормальное уравнение для координатной прямой

Формула

Нормальное уравнение можно выразить в виде уравнения:

\[A_{x}+B_{y}+C=0\]

Где числа А, В, и C имеют такие значения, что, вектор \[\underline{n}=(\mathrm{A}, \quad \mathrm{B})\] равняется единице, \[C \leq 0\].

Вектор \[\underline{n}=(\mathrm{A}, \quad \mathrm{B})\], будет является нормальным в системе координат.

Так же есть еще один способ записать нормальный вид уравнения, применяя для этого значения тригонометрических функций.

\[\cos \alpha \cdot x+\cos \beta \cdot y-\rho=0\]

\[\cos \alpha \cos \beta\] — это действительные простые числа. Следовательно, они представлены направляющими косинусами. А также нормального вектора и единичной прямой.

Отсюда следует \[\underline{n}=\left(\begin{array}{lll} \cos \alpha & \cos \beta \end{array}\right)\] равняется равенству: \[\underline{n}=\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta=1\]

Значение \[\rho \geq 0\]

Данное значение определяет длину расстояния от прямой линии до начала координатной прямой.

Уравнение прямой на плоскости 4

Пример №1:

В задаче имеется уравнение прямой для общего случая.

2x-3y+4=0

Нужно используя вышеуказанное уравнение составить простое уравнение для координатной прямой.

Для начала запишем А=2; В=-3; С=4.

Неизвестное значение t, сможем вычислить из равенства используя известные значения.

\[\mathrm{t}=\pm \frac{1}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\pm \frac{1}{\sqrt{13}}\]

t- будет отрицательным значение, так как С>0.

\[t=-\frac{1}{\sqrt{13}}\]

Перемножим уравнение:

\[\frac{2}{\sqrt{13}} x+\frac{3}{\sqrt{13}} y-\frac{4}{\sqrt{13}}=0\]

Вывод решения: \[\frac{2}{\sqrt{13}} x+\frac{3}{\sqrt{13}} y-\frac{4}{\sqrt{13}}=0\]

Значение \[\frac{4}{\sqrt{13}}\] — будет являться, тем самым значение, которое показывает расстояние от начала до прямой координат прямой.

Пример №2.

Определим и составим нужное уравнение имея следующие известные нам данные: угол \[\varphi=60 \text { градусов }\]

Расстояние до прямой от начала координат равняется 4.

Используя данные решим задачу.

\[\cos \varphi=\cos \left(60^{\circ}\right)=\frac{1}{2}\]
\[\sin \varphi=\sin \left(60^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} y-4=0\]

\[\text { Ответ: } \frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} y-4=0\]

Пример №3:

Имея данные значения решим задачу согласно задания. Где угол \[\varphi=90 \text { градусов }\]

Расстояние до прямой от начала координат равняется 3.

Используя данные решим задачу.

\[\cos \varphi=\cos \left(90^{\circ}\right)=0\]
\[\sin \varphi=\sin \left(90^{\circ}\right)=1\]
\[1 x+0 y-3=-2\]

Ответ: \[0 x+-1 y-3=-2\] координата не лежит на прямой, так как имеет отрицательное значение.

Выводы по материалу:

Рассмотрев типы уравнения, для прямой в плоскости. Перечислив их категории и основные характеристики. Можно сказать, что это одна из составляющих математики.

В ней переплетаются все основные значения и функции этой технической науки.

Для решения задач, необходимо обладать следующими навыками:

  • вспомнить весь изученный материал по работе с тригонометрическими функциями: косинус, синус. тангенс и другие.
  • вычисление отрицательных значений и их правила;
  • решение уравнений с дробными числами;
  • помнить правило возведения числа в степень.  

Учитывая все, рекомендации, процесс работы с материалом по данной теме значительно облегчит процесс.