Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов
Перед тем как говорить о многочленах давайте вспомним, что именуют одночленом. Так называют математическое выражение, состоящее из произведения числовых и буквенных множителей. Примеры одночленов: ac, abc, 4ab, 2bc3, 7x5c3 d.
Понятие многочлена
Многочленом называют сумму двух и более одночленов.
Членами многочлена называют одночлены, из которых он состоит.
Числа, которые стоят при буквах членов многочлена, называют его коэффициентами.
Примеры многочленов: \[7 a b c+b^{2} a d+9, a+b+c+d, 3 t^{5}+4 b\], \[a+2 b^{2}-c, 4-6 x y\].
Не удивляйтесь знаку минуса в выражениях. Любую разность легко представить в виде суммы. В частности, последние два выражения можно переписать как \[a+2 b 2+(-c), 4+(-6 x y)\].
Число ноль считают нулевым многочленом.
Понятия одночлена и многочлена пересекаются между собой, ведь любой одночлен является одновременно и многочленом. Его можно записать в виде суммы одночлена и нулевого многочлена.
Двучленом называется многочлен, который составляют два одночлена.
Примеры: \[a+b, b^{2}+a b, 3 a b c^{3}-a, a^{2}-4 a c, a^{2}-b c^{2}\].
Трёхчленом называется многочлен, который составляют три одночлена.
Примеры: \[b^{2}+a c-a, 3 a b c^{4}+4 a c, 3 a c^{3}-a+a^{2},-5 c+c^{2}, 7+a-9 c\].
Из ранее пройденного материала нам известно, что степенью одночлена называют сумму степеней всех его буквенных множителей.
Линейным многочленом называется тот, в котором все его члены не выше первой степени.
Примеры: \[2 x y-7 a, 3 a b+5 y+y, x y-9 a c,-2 a b+5 x+9 y\].
Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые, из которых он состоит.
Например, в многочлене \[3 a^{2}+8 a c-a^{2}\] подобными являются \[3 a^{2}\] и \[-a^{2}\], в \[5 b^{7}+8 ac+b^{7}-4 a b c d\] подобными будут \[5 b^{7}\] и \[b^{7}\].
Многочлены стандартного вида
Из ранее пройденных тем известно, что одночленами стандартного вида называются те, в которых на первом месте стоит коэффициент, а затем идут буквенные множители.
Стандартным называют многочлен, состоящий их стандартных одночленов и при этом не содержащий подобных слагаемых.
Примеры стандартных многочленов: \[48 a^{3} b^{9}-6 x^{4} y^{5}, 18 x y-113 c^{3} x^{6}, 6 m n^{3}+15 a b c\].
Свободным членом многочлена называется многочлен нулевой степени, у которого нет буквенной части. Проще говоря, свободный член многочлена – входящее в него в качестве слагаемого число.
Свободным членом 3ab — 3с + 12х — 4 будет -4.
\[y x^{2}-6 m n+15\] свободный член равен 15.
Представьте в виде многочлена стандартного вида математическое выражение 4x + 6xy2 + x – xy2.
Решение:
Приводим подобные слагаемые: 4x + x = 5x; 6xy2 — xy2 = 5xy2. В результате имеем 4x + 6xy2 + x – xy2 = 5x + 5xy2.
Ответ: 5x + 5xy2.
Привести 2x2y3 – xy3 – x4 – x2y3 + xy3 + 2x4 к стандартному виду.
Решение:
Приводим подобные слагаемые: 2x2 y3 — x2 y3 = x2 y3; — xy3 + xy3 = 0;
(-x4) +2x4 = x4
В результате получаем x2y3 + x4.
Ответ: x2y3 + x4.
Степень многочлена
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
Степенью многочлена нестандартного вида называют степень многочлена соответствующего ему стандартного вида.
Для нахождения степени многочлена следует:
- Привести к стандартному виду все его члены;
- Привести к стандартному виду сам многочлен;
- Найти и выбрать одночлен с наибольшей из степеней.
Покажем сказанное на конкретных задачах.
Узнать степень 6x + 4xy2 + x + xy2.
Решение: Выделяем подобные слагаемые. Это 6x + x =7x и 4xy2 + xy2 = 5xy2.
В результате имеем 7x + 5xy2. Это стандартный вид указанного многочлена.
Степень первого из его членов равна 1, второго 3. Так как 3 больше 1, степень нашего многочлена будет равна 3. Нельзя забывать, что единичная степень (таковая имеется у одночлена 7x) подразумевается, но не обозначается числом сверху.
Ответ: Степень 6x + 4xy2 + x + xy2 равна 3.
Узнать степень 6xx3 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x.
Решение: Находим стандартный вид одночленов: 6xx3 = 6x4, у 5xx2 = 5x3, у 3x3 = 3x4, 3x2x = 6x2 .
В результате наше выражение приобретает вид 6x4 + 5x3 − 3x4 − 3x3.
Теперь приводим его к стандартному виду. Выделяем подобные слагаемые.
Это 3x3. -3x3, и 6x4, -3x4.
Наш многочлен начинает выглядеть как 3x4 – 2x3.
Сравниваем степени слагаемых, 4 больше 3.
Ответ: Степень 6xx3 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2 x равна 4.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
О разложении многочлена на множители
Вынесение общего множителя за пределы скобок:
Разложить на множители многочлен xy + xz.
Решение:
Выносим x за скобки и получаем xy + xz = x(y+z).
Ответ: x(y+z).
Использование формул сокращённого умножения:
Разложить на множители (3xa – 2yb)2 .
Решение: Для разложения на множители воспользуемся формулой
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2.
После её применения имеем:
9x2a2 – 6xyab + 4y2b2.
Ответ: 9x2a2 – 6xyab + 4y2b2.
Группировка:
Разложить на множители x3 – 5x2y – 3xy +15y2.
Решение:
x3 – 5x2y – 3xy +15y2 = (x3 – 5x2y) – (3xy — 15y2) =
= x2(x-5y) – 3y(x-5y) = (x2 – 3y)(x-5y).
Ответ: (x2 – 3y)(x-5y).
Выделение полного квадрата:
Разложить на множители x4 – 4x2 – 1.
Решение:
X4 – 4x2 – 1 = x4 – 2*2*x2 – 4 – 1 = (x2 -2)2 – 5 = (x2 – 2 + √5)(x2 – 2 + √5). В результате получили произведение двух многочленов.
Ответ: (x2 – 2 + √5)(x2 – 2 + √5).
Разложение квадратного трёхчлена на множители:
Метод базируется на теореме, согласно которой квадратное уравнение ax2 + bx +c = 0 с корнями x1 и x2 можно записать в виде a(x-x1)(x-x2).
Разложить на множители 2x2 + 5x -3.
Решаем уравнение 2x2 + 5x -3 = 0.
x1,2 = {5 +- √[52 – 4*2*(-3]}/2*2 = (-5+-7)/4;
x1 = ½; x2 =3;
2x2 + 5x -3 = 2(x-1/2)(x+3).
Ответ: 2(x-1/2)(x+3).
