Подобные слагаемые, их приведение, примеры задач

Слагаемые — это все основные составные элементы и значения суммы, которые образуют уравнение. Тем самым они могут присутствовать только в тех выражениях, которые представлены как сумма значений.

Буквенная часть — это произведение буквенных значений в уравнении, которые представлены в виде переменной.

Слагаемое с буквенной частью — это выражение в виде произведения буквенной части и числового значения, чаще всего встречается иное название: числовой коэффициент.

Подобные слагаемые — это слагаемые, которые представлены в буквенном выражении, и имеющие одинаковую заданную часть. Используя свойства сложения и умножения, можно упрощать уравнения, которые содержат подобные слагаемые.

Пример 1.

Задано следующее выражение: \[\boldsymbol{3 \cdot a+2 \cdot a}\]

Данная сумма представлена значениями, которым характерна одна и та же буквенная часть, равная a. Согласно
основному определению подобных слагаемых, два любых числа представленных в примере являются подобными.
Значения 2 и 3 соответственно будут являться числовыми коэффициентами.

Пример 2.

Рассмотрим следующий пример: \[\boldsymbol{5 \cdot x \cdot y^{3} \cdot z+12 \cdot x \cdot y^{3} \cdot
z+1}\].

Подобными слагаемыми в приведенном примере будут выражения: \[5 \cdot x \cdot y^{3} \cdot z\] и \[12 \cdot x
\cdot y^{3} \cdot z\], так как они имеют одинаковую буквенную часть \[x \cdot y^{3} \cdot z\] и \[12 x \cdot
y^{3} \cdot z\]. Необходимо уделить внимание моменту, что в буквенной части выражения присутствует значение
степени \[y^{3}\]. Присутствие степени никоим образом не влияет на буквенное выражение, так как \[y^{3}\],
это упрощенное выражение произведения \[y \cdot y \cdot y\]. Значение числовых коэффициентов равных 1 и -1 в
случае подобных слагаемых зачастую не записываются, но их при решении задач подразумевают. Например:
заданное уравнение вида \[3 \cdot z^{5}+z^{5}-z^{5}\] состоит из трех подобных слагаемых \[3 \cdot z^{5},
z^{5},-z^{5}\].

Одинаковой буквенной частью будет являться значение \[z^{5}\]. Числовые коэффициенты: 1,-1,5.

Если значения слагаемых в буквенном выражении представлены без буквенной части, то они также будут являться
подобными.

Например, сумма двух выражений \[5+7 \cdot x-4+2 \cdot x+y\] представлена подобными слагаемыми, коих
насчитывается четыре. Два слагаемых 5 и -4 не имеют буквенной части.

Буквенная часть в любом выражении может быть представлена следующим образом:

• произведение букв: \[a \cdot b\];
• буквенным выражением произвольного типа: \[3 \cdot \sqrt{5 \cdot a}-2 \cdot \sqrt{5 \cdot a}+12 \cdot
  \sqrt{5 \cdot a}\].

В приведенном примере общей частью подобных буквенных слагаемых будет выражение \[\sqrt{5 \cdot a}\].

Используя данную аналогию можно выделить подобные слагаемые в следующем примере, которое представлено как
разность двух выражений.

\[4 \cdot\left(x^{2}+x-\frac{1}{x}\right)-0.5 \cdot\left(x^{2}+x-\frac{1}{x}\right)-1\]. Слагаемые в примере
представлены с одинаковой буквенной частью \[\left(x^{2}+x-\frac{1}{x}\right)\].

Пример 1.

Дано выражение: \[\boldsymbol{3 \cdot x \cdot y+1+5 \cdot x \cdot y}\]

Используя правила, выделим все подобные слагаемые, и переместить их таким образом, чтобы они находились
близко друг от друга. \[3 \cdot x \cdot y+1+5 \cdot x \cdot y=3 \cdot x \cdot y+5 \cdot x \cdot y+1\].

Затем нужно вынести за скобки имеющуюся часть, заданную буквами: \[x \cdot y \cdot(3+5)+1\].

Определяем значение уравнения, которое расположено в скобках: \[x \cdot y \cdot(3+5)+1=x \cdot y \cdot
8+1;\]

Записываем числовой коэффициент. Обычно его записывают перед частью примера, представленного буквенной
частью.

\[x \cdot y \cdot 8+1=8 \cdot x \cdot y+1\]

Чтобы преобразовать все три шага приведения подобных слагаемых, используется правило приведения. Согласно
которого, чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить все значения коэффициентов. После этого
полученное значение перемножить на буквенную часть, если такая имеет место.

Составим и запишем более короткий вариант решения примера, которое рассматривали выше \[3 \cdot x \cdot y+1+5
\cdot x \cdot y\]. Выделим значения коэффициентов подобных слагаемых \[3 \cdot x \cdot y\] и \[5 \cdot x
\cdot y\], это будут числовые значения равные 3 и 5. Следовательно, сумма коэффициентов равна восьми.
Определив сумму коэффициентов, можем выполнить следующее вычисление. Для этого перемножим значение 8 на
буквенную часть выражения и получим: \[3 \cdot x \cdot y+1+5 \cdot x \cdot y=8 \cdot x \cdot y+1\].

Пример 2.

Необходимо выполнить решение приведения подобных слагаемых следующего выражения: \[\boldsymbol{0.5 \cdot
x+\frac{1}{2}+3.5 \cdot x-\frac{1}{4}}\].

Для этого необходимо использовать три главных этапа вычисления.

Первым действием выполним приведение подобных слагаемых \[0,5 \cdot x\] и \[3,5 \cdot x\]. Для этого
используем правило и вычисляем сумму их коэффициентов 0,5+3,5=4. Полученный результат нужно перемножить на
буквенную часть \[4 \cdot x\].

Далее приведем подобные слагаемые, но уже не используя буквенную часть. Составим и запишем следующее
выражение: \[\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\].

Определим разность обыкновенного дробного выражения, используя правило сложение чисел со значения, которые
имеют разные знаки.

После проведенных вычислений составим выражение:
\[\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4};\]

Следовательно: \[0,5 \cdot x+\frac{1}{2}+3.5 \cdot x-\frac{1}{4}=4 \cdot x+\frac{1}{4};\]

Составим и запишем выражение краткого решения: \[0.5 \cdot x+\frac{1}{2}+3.5 \cdot x-\frac{1}{4}=(0,5 \cdot
x+3.5 \cdot x)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=4 \cdot x+\frac{1}{4}\]

Ответ: \[(0,5 \cdot x+3.5 \cdot x)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=4 \cdot x+\frac{1}{4}.\]