Схема Горнера
В этой статье мы на практике разберём как разделить многочлен на двучлен, чтобы найти частное и остаток. Итак, у нас есть многочлен вида \[P_{n}(x)=a_{n} a^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\], и линейный двучлен \[x-s\], и нам надо узнать можно ли их разделить без остатка, или найти частное и остаток. Для решения будет удобно использовать схему Горнера. Метод для решения уравнений по схеме Горнера для деления многочленов путем основан на составлении специальной таблицы.
Вам просто нужно взять исходные данные из ваших примеров и по аналогии вставить их в таблицу:
| \[S_{i}\] | коэффициенты многочленов | ||||
| — | \[a_{n}\] | \[a_{n-1}\] | \[a_{n-2}\] | … | \[a_{0}\] |
| \[S\] | \[a_{n}=b_{n}\] | \[a_{n-1}+b_{n} \times s=b_{n-1}\] | \[ a_{n-2}+b_{n-1} \ \times s=b_{n-2} \] |
… | \[a_{0}+b_{1} \times s=b_{0} \] |
На базе составленной таблицы, мы определили коэффициенты деления \[b_{n}, b_{n-1}, \ldots, b_{1}\] от деления многочлена \[P_{n}(x)=a_{n} a^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\] на x-s. Остаток — это число \[b_{0}\]. Записываем результат решения:
\[\begin{gathered}
P_{n}(x)=a_{n} a^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}= \
(x-s)\left(b_{n} x^{n-1}+b_{n-1} x^{n-2}+\ldots+b_{1}\right)+b_{0}
\end{gathered}\]
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Давайте используем этот метод для решения конкретного примера. Итак, применение схемы Горнера, примеры:
Условие: Используйте схему Горнера для деления многочлена \[3 x^{5}-4 x^{4}-x^{3}+5 x+14\] на двучлен \[x-2\].
Решение:
В этом примере \[s=1\] и мы также имеем коэффициенты \[a_{4}=3, a_{3}=-4, a_{2}=-2, a_{1}=5, a_{0}=14\].
Заполним таблицу Горнера на основании этих данных:
| \[S_{i}\] | коэффициенты многочленов | ||||
| — | \[a_{4}=3\] | \[a_{3}=-4\] | \[a_{2}=-2\] | \[a_{1}=5\] | \[a_{0}=14\] |
| \[s=2\] | \[a_{4}=3=b_{4}\] | \[a_{3}+b_{4} \times s=-4+3 \times 2=2=b_{3}\] | \[a_{2}+b_{3} \times s=-2+2 \times 2=-8=b_{2}\] | \[a_{1}+b_{2} \times s=5+(-8) \times 2=-11=b_{1}\] | \[a_{0}+b_{1} \times s=14+(-11) \times 2=-8=b_{0}\] |
Ответ: мы нашли частное \[b_{4} x^{3}+b_{3} x^{2}+b_{2} x+b_{1}=3 x^{3}+2 x^{2}-8 x-11\] и остаток \[b_{0}=-8\].
Условие: Можно ли разделить многочлен \[3 x^{4}-12 x^{3}+x^{3}+13 x+10\] на двучлен \[x+\frac{2}{3}\] без остатка? Определите значение частного.
Решение:
Заполняем таблицу Горнера на базе исходных данных из примера:
| \[S_{i}\] | коэффициенты многочленов | ||||
| — | \[a_{4}=3\] | \[a_{3}=-12\] | \[a_{2}=1\] | \[a_{1}=13\] | \[a_{0}=10\] |
| \[s=-\frac{2}{3}\] | \[a_{4}=3=b_{4}\] | \[a_{3}+b_{4} \times s=-12+3 \times\left(-\frac{2}{3}\right)=-12-2=-14=b_{3}\] | \[a_{2}+b_{3} \times s=1+(-14) \times\left(-\frac{2}{3}\right)=10,33=b_{2}\] | \[a_{1}+b_{2} \times s=13+10,33 \times\left(-\frac{2}{3}\right)=6,11=b_{1}\] | \[a_{0}+b_{1} \times s=10+6,11 \times\left(-\frac{2}{3}\right)=5,93=b_{0}\] |
Так как в последней ячейке мы получили остаток \[b_{0}=5,93\], значит нужно разделить многочлен \[3 x^{4}-12 x^{3}+x^{3}+13 x+10\] на двучлен \[x+\frac{2}{3}\] без остатка невозможно.
Ответ: мы нашли частное \[3 x-14 x+10,33 x+6,11 x\] и остаток 5,93, следовательно, разделить заданные многочлен на двучлен без остатка невозможно.
Если бы мы получили остаток \[b_{0}\] равное 0, то могли бы сказать о возможности разделить многочлен \[P_{n}(x)=a_{n} a^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\] на двучлен \[x-s\] без остатка. Корень исходного многочлена будет равен. Благодаря взаимодействию схемы Горнера и теоремы Безу, мы можем записать деление исходного многочлена на двучлен в виде следующего уравнения:
\[\begin{gathered}
P_{n}(x)=a_{n} a^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}= \\
(x-s)\left(b_{n} x^{n-1}+b_{n-1} x^{n-2}+\ldots+b_{1}\right)
\end{gathered}\]
Таким образом, когда мы применяем схему Горнера, то корни уравнения находим в уравнениях высшей степени с целыми коэффициентами или разложить на простые множители исходный многочлен. В применении схемы Горнера самое сложное — запомнить алгоритм заполнения таблицы и внимательно вписать в неё коэффициенты.
