Производные значения функций

Определение

Производная функции — это основное понятие дифференциального исчисления значений.

Как правило производная характеризует с какой скоростью изменяется функция в конкретной точке.  Производные используются в большинстве видов задач не только в математике, но и других технических науках.

Для решения задач с производными функциями существует стандартный перечень основных производных.

Список 1. Производные значения функций

Подробное решение производных уравнений

Пример №1:

Нужно вычислить производную заданной функции \[y=2^{x}-\operatorname{arctg} x\].

Согласно основным правилам производной, при которой производная суммы значений функции равняется сумме производной.

Используя формулу производной составим уравнение и решим его:

\[y^{\prime}=\left(2^{x}-\operatorname{arctg} x\right)^{\prime}=\left(2^{x}\right)^{\prime}-(\operatorname{arctg} x)^{\prime}\]

Применяя формулы производных и обратных тригонометрических функций решим уравнение:

\[y^{\prime}=2^{x} \ln 2-\frac{1}{1+x^{2}}\]

Ответ: \[y^{\prime}=2^{x} \ln 2-\frac{1}{1+x^{2}}\].


Пример №2:

Нужно вычислить приблизительное значение заданной функции arctg 1.02. При этом производя замену приращения функции ее дифференциалом. 

Рассмотрим подробно функцию y= arctg x.

Для данной функции нужно вычислить значение в точке равной 1,02.

Для этого выразим функцию в следующем выражении: \[x=x_{0}+\Delta x\].

Значения двух точек \[\mathrm{x}_{0}\] и \[\Delta x\] подбираются таким образом, чтобы при вычислении значений функции и ее производных было легко проводить расчеты. При этом желательно числа выбирать так, чтобы значение \[\Delta x\]. было достаточно минимальным по значению.

Учитывая все требования можно сделать следующий вывод:

\[x=1.02=1+0.02\] , а именно \[ x_{0}=1 \text { и } \Delta x=0,02 .\]

Определим значения для заданной функции y= arctg x в первой точке равной \[\mathrm{x}_{0} = 1\]

\[y\left(x_{0}\right)=y(1)=\operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4}\].

Следующим действием проведем дифференциацию заданного выражения и вычисли значение функции \[y^{\prime}=(\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\] из этого следует, что \[y^{\prime}(1)=\frac{1}{2}\].

Составим и решим окончательное уравнение и найдем его значение:

\[y(1,02)=\operatorname{arctg} 1,02=y(1+0,02) \approx y(1)+y^{\prime}(1) \cdot \Delta x=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cdot 0,02 \approx 0,7852+0,01=0,7952\]

Ответ:  \[\operatorname{arctg} 1,02 \approx 0,7952\]


Пример №3:

Согласно заданию, необходимо определить производную для функции \[y=x^{3}+\sin x+\ln x\].

Так как производное значение равняется сумме производных составим выражение.

\[y^{\prime}=\left(x^{3}+\sin x+\ln x\right)^{\prime}=\left(x^{3}\right)^{\prime}+(\sin x)^{\prime}+(\ln x)^{\prime}\]

Для дальнейшего решения необходимо воспользоваться таблицей производных и выбрать нужную функцию, которая будет подходить под данное решение.

\[y^{\prime}=3 x^{3-1}+\cos x+\frac{1}{x}\], преобразуем уравнение и получим упрощенный вид уравнения и выполним его решение:

 \[y^{\prime}=3 x^{2}+\cos x+\frac{1}{x}\].

Ответ: \[y^{\prime}=3 x^{2}+\cos x+\frac{1}{x}\].


Пример №4:

Дана функция \[y=\frac{3 x-1}{2 x+5}\].

Необходимо определить ее производную применяя таблицу функций.

Составим уравнение функции используя дифференцирование. И получим следующее выражение:

\[y^{\prime}=\left(\frac{3 x-1}{2 x+5}\right)^{\prime}=\frac{(3 x-1)^{\prime} \cdot(2 x+5)-(3 x-1) \cdot(2 x+5)^{\prime}}{(2 x+5)^{2}}\]

Принимая во внимание все основные правила при решении функций и производных делаем вывод, что постоянное значение константы можно перенести за знак самой производной:

\[y^{\prime}=\frac{\left[(3 x)^{\prime}-(1)^{\prime}\right] \cdot(2 x+5)-(3 x-1) \cdot\left[(2 x)^{\prime}+(5)^{\prime}\right]}{(2 x+5)^{2}}\]
\[y^{\prime}=\frac{(3-0) \cdot(2 x+5)-(3 x-1) \cdot(2+0)}{(2 x+5)^{2}}\]
\[y^{\prime}=\frac{3 \cdot(2 x+5)-(3 x-1) \cdot 2}{(2 x+5)^{2}}\]
\[y^{\prime}=\frac{6 x+15-6 x+2}{(2 x+5)^{2}}\]
\[y^{\prime}=\frac{17}{(2 x+5)^{2}}\]

Ответ: \[y^{\prime}=\frac{17}{(2 x+5)^{2}}\]


Пример №5:

Для функции \[y=\frac{\cos x}{x^{3}+1}\] нужно определить производную.

Нужно применить правило дифференцирования частного значения и составить уравнение:

\[y^{\prime}=\left(\frac{\cos x}{x^{3}+1}\right)^{\prime}=\frac{(\cos x)^{\prime} \cdot\left(x^{3}+1\right)-\cos x \cdot\left(x^{3}+1\right)^{\prime}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}\]

Последующее решение необходимо выполнять, руководствуясь ранее изученными правилами производной функции.

В ходе решения нужно выбрать правильную производную функцию и используя ее решить уравнение:

\[y^{\prime}=\left(\frac{\cos x}{x^{3}+1}\right)^{\prime}=\frac{(\cos x)^{\prime} \cdot\left(x^{3}+1\right)-\cos x \cdot\left(x^{3}+1\right)^{\prime}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}\]
\[y^{\prime}=\frac{(-\sin x) \cdot\left(x^{3}+1\right)-\cos x \cdot\left[\left(x^{3}\right)^{\prime}+(1)^{\prime}\right]}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}\]
\[y^{\prime}=\frac{(-\sin x) \cdot\left(x^{3}+1\right)-\cos x \cdot\left(3 x^{2}+0\right)}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}\]
\[y^{\prime}=\frac{-\sin x \cdot\left(x^{3}+1\right)-3 x^{2} \cdot \cos x}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}\]

Ответ: \[y^{\prime}=\frac{-\sin x \cdot\left(x^{3}+1\right)-3 x^{2} \cdot \cos x}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}\]


Пример №6:

Нужно вычислить производную для функции \[y=\frac{x^{3}}{\ln x}\]

Начинаем порядок решения с правила дифференцирования частного значения:

\[y^{\prime}=\left(\frac{x^{3}}{\ln x}\right)^{\prime}=\frac{\left(x^{3}\right)^{\prime} \cdot \ln x-x^{3} \cdot(\ln x)^{\prime}}{(\ln x)^{2}}\]

Затем используем известные формулы производных, логарифмических значений и степеней. Составляем и решаем следующее уравнение:

\[y^{\prime}=\frac{3 x^{2} \cdot \ln x-x^{3} \cdot \frac{1}{x}}{\ln ^{2} x}\]
\[y^{\prime}=\frac{3 x^{2} \cdot \ln x-x^{2}}{\ln ^{2} x}\]
\[y^{\prime}=\frac{x^{2}(3 \ln x-1)}{\ln ^{2} x}\]

Ответ: \[y^{\prime}=\frac{x^{2}(3 \ln x-1)}{\ln ^{2} x}\]


Пример№ 7:

Вычислить производную для функции \[y=3 x^{2}+5 \sqrt[3]{x^{5}}-\frac{4}{x^{3}}\]

Для решения необходимо применять производную подходящую для данной функции и помнить правило суммы.

\[y^{\prime}=\left(3 x^{2}+5 \sqrt[3]{x^{5}}-\frac{4}{x^{3}}\right)^{\prime}=\left(3 x^{2}\right)^{\prime}+\left(5 \sqrt[3]{x^{5}}\right)^{\prime}-\left(\frac{4}{x^{3}}\right)^{\prime}\]

Множитель, который является постоянным по значению можно перенести за знак производной и получим выражение:

\[y^{\prime}=3 \cdot\left(x^{2}\right)^{\prime}+5 \cdot\left(x^{\frac{5}{3}}\right)^{\prime}-4 \cdot\left(x^{-3}\right)^{\prime}\]

Далее необходимо применить формулу и рассчитать значение производной для функции со степенью.

\[y^{\prime}=3 \cdot 2 x^{2-1}+5 \cdot \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3}-1}-4 \cdot\left(-3 \cdot x^{-3-1}\right)\]
\[y^{\prime}=6 x+\frac{25}{3} x^{\frac{2}{3}}+12 x^{-4}\]
\[y^{\prime}=6 x+\frac{25}{3} \sqrt[3]{x^{2}}+\frac{12}{x^{4}}\]

Ответ: \[y^{\prime}=6 x+\frac{25}{3} \sqrt[3]{x^{2}}+\frac{12}{x^{4}}\]